ECUACIONES

Desde muy pequeño ya sabes hacer ecuaciones. Es una de las  primeras lecciones  que aprendemos en el colegio. Mira estos ejercicios:


___ + 6 = 8




19 - ____ =   8




5 x ____ =   25


¿qué número sumado a 5 da como resultado 9?

¿ Por  qué número hay que dividir a 27 para obtener como resultado  9?
¿Has tenido problemas para resolverlos?  Seguro que no. Son ejercicios que resolvías ya en 3º de Primaria. Bueno,pues ya sabes resolver ecuaciones.  Ahora toca profundizar y aprender más para enfrentarnos a los que "verás" el año que viene en el Instituto.



Una ECUACIÓN  es una igualdad que se cumple para algún valor de la incógnita.

x + 5 = 7 (se cumple para el valor de x =2)

Una ecuación tiene dos miembros, cada uno a un lado del igual.     x + 5 ( 1º miembro)   =   7 (2º miembro)

Los números se llaman términos   (x + 5 =  7)   y  la letra que aparece, incógnita.   x + 5 = 7

La solución es el valor que le damos a la incógnita para que se cumpla la igualdad. x = 2


DESPEJAR la incógnita es conseguir aislar la X a uno de los lados de la igualdad y hacerle corresponder el valor numérico que quede al otro lado.

Para despejar la X de una ecuación seguiremos los siguientes pasos:

1º- colocar todos los términos con X a la izquierda del igual
2º- colocar todos los términos sin X a la derecha del igual.
3º- operar cada uno de los miembros
4º- despejar la X y hallar la solución.

Cuando un término pasa de un miembro al otro lo HACE CON LA OPERACIÓN CONTRARIA.

Veamos por qué:
La primera norma para las ecuaciones es que si se opera en un miembro hay que realizar LA MISMA OPERACIÓN en el segundo miembro PARA QUE SE MANTENGA LA IGUALDAD.
 Por ejemplo:
 4 +  10 =     14
Si sumo por ejemplo 5 al primer miembro, tengo que sumar 5 también en el segundo para que se mantenga la igualdad y sea cierto que se cumple.
4 + 10 + 5 =  14 + 5;   

Veamos qué supone eso en la práctica:

x + 7 =   12.
Para eliminar el 7 tengo que restarle 7 (en los dos miembros)
x + 7 -7 =  12- 7
Si continúo operando, como siete menos siete es cero:

x=  12- 7 ;   x =  5. 

En definitiva,  el  + 7  que estaba en el primer miembro de la primera operación   ( x + 7 = 12) , se ha convertido en - 7  en el desarrollo.

Por eso en clase escuchas esto:

x + 7 = 12.

Despejo la x /  Dejo el 12 sin hacerle nada puesto que sigue en el segundo miembro y "me llevo" el 7. Como el 7 está sumando en el primer miembro, me lo llevo al segundo miembro restando.

X= 12 - 7.      ;   X= 5.

Seguro que cuando hagas muchas ecuaciones lo encontrarás más fácil.  Esto es como  tantas y tantas cosas que son sencillas de hacer pero dificil de explicar (¿te suena, verdad, eso de. "me lo sé pero no sé cómo explicarlo").

Pondremos muchas ecuaciones y su solución para que practiques en casa. Comienza por estas (las soluciones puedes ponerlas en los comentarios y las corregimos en seguida). Pero NO DEJES DE PREGUNTAR LAS DUDAS EN CLASE.

3 + x =  8                 

5.x =  40

8x + 3 = 5x + 42



Ecuaciones resueltas

x + 8 =  12.  
X=  12 - 8   Despejamos la X.  Dejamos el 12 y nos llevamos el 8 (cambiamos el +8 por -8)
x = 4.    
Como puedes ver cada igualdad va en una línea distinta. No ponemos "dos iguales"  en una misma línea. Asi conseguiremos mayor claridad en la resolución de los ejercicios y evitaremos confusiones.

6x = 48;       
 x=  48 / 6     Despejamos la X.  Dejamos el 48 y nos llevamos al segundo miembro el 6 que antes
                     multiplicaba y ahora divide.
 x= 8.  


2x- 7 = x + 17 
2x  - x =  17 + 7  
X = 24
1º pasamos las X a la izquierda del igual, y  al hacerlo le cambiamos el signo. Por eso  tenemos 2x - x.
2º el 17 le dejamos donde estaba y nos llevamos el 7 al segundo miembro (como era -7 se convierte en un + 7).

HALLAMOS EL PERÍMETRO y el ÁREA

 

1º- OBSERVA BIEN LAS FIGURAS: 
-    ¿de qué figuras se trata?: ninguna es  una figura de las que hemos visto en clase. Por tanto, lo `primero será descomponer esas  figuras en otras más pequeñas que sí conozcas (cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios, rombos, círculos).
-    Fíjate en la unidad que vienen los datos. En la figura a) vienen todos en mm   (milímetros). En la figura b) vienen mezclados, hay datos en cm (centímetros), en m(metros), dm (decímetros) y mm (milímetros).
En los dos casos será necesario pasar todas las unidades a la misma unidad y después operar con ella.  Por tanto habrá que recordar cómo pasar de una unidad a otra (medida de longitud)


¿QUÉ PIDE EL EJERCICIO?:  Te piden que halles el perímetro de cada figura.
La figura a) hay que expresarla en  decímetros (dm) y vemos que los datos vienen marcados en mm (milímetros). Podemos pasar todos los datos a dm y luego operar o primero podemos operar, obtener el resultado en mm y después pasarlo a dm, tal y como exige el  ejercicio.
En el ejercicio a) observamos tres figuras: un rectángulo, un cuadrado y un triángulo.   El perímetro es la suma de todos los lados. Comprueba si conoces todos los lados.  Lo más práctico es completar todos los datos que faltan:












El perímetro sería, comenzando por arriba y hacia la  derecha:
94 + 52 + 48 + 48+ 76+  52 = 370 mm
Como nos piden en dm, la solución al ejercicio sería : 370mm= 3,70 dm


En la figura B optamos por  pasar todas las unidades que tiene la figura a la que nos piden, a metros. 

Por tanto la figura quedaría así:

Por tanto el Perímetros sería (comenzando por la línea superior y hacia la derecha):
0,134 + 0,062 + 0,062 + 0,06 + 0,03+ 0,06 + 0, 068 =  0,476 metros.

VAMOS A POR LAS ÁREAS

La primera figura se descompone en tres figuras conocidas:

Ahora aplicamos  las fórmulas de cada figura, para después sumarlas y hallar el área total.

ÁREA DEL RECTÁNGULO=  b . a =  94 . 52 =
ÁREA DEL TRIÁNGULO=  b. a   =  la base es 48 mm y la altura  94 menos 48 mm.
                                                  2
ÁREA DEL CUADRADO:  l . l =  48 . 48 =

La suma de todas las áreas dará como resultado el área total.

Figura 2:  Está formada por varias figuras: triángulos y  rectángulos.  Debes tener en cuenta que hay que operar en la misma unidad (utilizando por ejemplo los datos del ejercicio anterior).

Tenemos un tríangulo de color rojo. A= b.a   =
                                                                   2
Otros dos  triángulos  de color amarillo y gris , iguales. A= b.a =
                                                                                                 2
Un rectángulo verde.  A=  b. a=

Y un rectángulo pequeño, de color azul. A= b. a =

                                    ¿Cuál es la solución al ejercicio? ¿Qué área no podemos hallar porque nos faltan datos?  ¿Se pueden hallar los datos que faltan con lo que sabemos?

PERÍMETROS

Enlaces para repasar la teoría y  practicar lo visto en clase.

EL PERÍMETRO

PERÍMETROS

ÁREAS

PORCENTAJES Y PROPORCIONES

 

Para practicar... y aprender más

Navegando y navegando he encontrado una página muy interesante para practicar TODO  lo que estudiamos en clase de Matemáticas. Es la página de un colegio de Córdoba y de la editorial Santillana.
Si la visitais  (cosa que os recomiendo)  encontraréis muchos enlaces con ejercicios muy divertidos de cálculo mental, con varios niveles, de fracciones, números decimales  y de todos los temas estudiados en 6º de primaria.
Como ejemplo os dejo este sobre la prioridad de las operaciones y los paréntesis. Haz clic en la imagen y a jugar !!!!




ENLACE A LA PÁGINA

NAVIDADES MATEMÁTICAS

Ya estamos de vacaciones. ¡Recordad que los deberes de Matemáticas eran  practicar nuestro método de cálculo mental!  Pero además podemos aprovechar las Navidades para comprobar nuestra habilidad con los números. Porque si hay una fecha matemática en el calendario, ésa es la Navidad!

- La Lotería: cuantos décimos jugamos, cuánto cobramos por cada uno,  si es un décimo cuánto es el billete entero, y si juego la mitad porque comparto con alguien, o si llevo una papeleta de 3 euros...

- las compras.  ¡Uffff! Todo el día de compras. En el super: kilos de carne, de langostinos, botellas de sidra... Podemos revisar el tique de compra, realizar la suma de cada producto, calcular las vueltas según el billete con el que pagamos, ...

-las rebajas: seguro que compraremos algo estas fiestas que está rebajado. Una bici de 200 euros con un 15% de descuento, por ejemplo. Tenemos que calcular el precio que pagamos después de aplicar el descuento que nos hace la tienda. 

-el IVA: en todas nuestras compras no podemos olvidar a nuestro amigo IVA. Nos acompaña siempre, en muchos productos ya va incluido pero en otros no.  El 18 % salvo para libros, discos y cosas así.

-Las uvas. Sí son doce, cada uno. Y si en casa somos 7, cuántas necesitamos. Pero no creo que se vendan sueltas, cómo las compro.  Y si son en lata, cuánto pagaré por todas.
-los mensajes: si en Nochevieja mando 5 mensajes de movil y me cobran 0,15 euros por cada uno ¿mi madre me regañará mucho?

-los viajes: los litros de gasolina que gastamos y los kilómetros que recorremos para llegar a casa de nuestros familiares,  si el litro de gasolina está a un precio, cuánto pagaremos por llenar el depósito y cuánto nos costará el viaje  de tantos kilómetros...

MENUDO PROBLEMA

No tenemos un problema. Tenemos muchos porque desde hoy tendremos que solucionar muchos problemas hasta que termine el trimestre.
Para ello necesitaremos cierto material: nuestro cuaderno de mates y demás "instrumental" escolar pero lo más importante, tendremos que llevar a clase:
- ticket de la compra del super (no  importa cuál)
- factura de la luz, del agua, del gas...
- recibo del teléfono, del móvil...
-propaganda de productos (en Navidad echan muchos en los buzones): alimentación, juguetes, colonias, ropa...
- noticas de prensa donde aparezcan decimales .